🌊 Trigonometrik Fonksiyonlar

11. Sınıf Matematik - Nicelikler ve Değişimler

🎯 Amaç: Trigonometrik referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen fonksiyonların nitel özelliklerini keşfetmek

🧠 Beceriler:

• Matematiksel Muhakeme

• Problem Çözme

• Analitik Düşünme

📐 Referans Fonksiyonlar

sin x, cos x, tan x, cot x

🔄 Dönüşümler

g(x) = k·f(mx±r)±s

📊 Nitel Özellikler

Periyot, maksimum/minimum, sıfırlar

⭕ Birim Çember ve Trigonometrik Oranlar

Açı (derece)

30°

Trigonometrik Değerler:

sin θ = 0.5
cos θ = 0.866
tan θ = 0.577
cot θ = 1.732

💡 Önemli Noktalar:

Birim çember üzerindeki herhangi bir P(x,y) noktası için: x = cos θ, y = sin θ
Açı değiştikçe trigonometrik oranların nasıl değiştiğini gözlemleyin
Özel açılar: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° değerlerini deneyin

📈 Trigonometrik Fonksiyon Grafikleri

sin x Fonksiyonunun Özellikleri:

Tanım Kümesi: ℝ (tüm gerçek sayılar)

Görüntü Kümesi: [-1, 1]

Periyot: 2π

Simetri: Tek fonksiyon

🔄 Fonksiyon Dönüşümleri

g(x) = k·sin(mx + r) + s

Genlik (k)

1

Frekans (m)

1

Faz Kayması (r)

0

Dikey Öteleme (s)

0

Dönüşüm Etkileri:

• k (Genlik): Grafiği dikey olarak uzatır/sıkıştırır
• m (Frekans): Periyodu değiştirir (T = 2π/m)

• r (Faz): Grafiği yatay olarak kaydırır
• s (Dikey): Grafiği yukarı/aşağı taşır

🎯 Trigonometrik Fonksiyonların Nitel Özellikleri

📈 Artanlık-Azalanlık

sin x: [0,π/2] artan, [π/2,π] azalan

cos x: [0,π/2] azalan, [π/2,π] artan

🔄 Periyot

sin x, cos x: T = 2π

tan x, cot x: T = π

⚖️ Simetri

sin x, tan x, cot x: Tek fonksiyon

cos x: Çift fonksiyon

📍 Sıfırlar

sin x: x = kπ

cos x: x = π/2 + kπ

⬆️ Maksimum

sin x: x = π/2 + 2kπ → y = 1

cos x: x = 2kπ → y = 1

⬇️ Minimum

sin x: x = 3π/2 + 2kπ → y = -1

cos x: x = π + 2kπ → y = -1

🚀 Gerçek Yaşam Uygulamaları:

• Fizik: Sarkaç hareketi, dalga hareketleri, alternatif akım

• Mühendislik: Sinyal işleme, titreşim analizi, yapı dinamiği

• Astronomi: Gezegen hareketleri, gelgit hesaplamaları

• Müzik: Ses dalgaları, harmonikler, frekans analizi

🧩 Kazanım Testi - Nitel Özellikler

Soru 1: MAT.11.1.1.a
Aşağıdaki grafik temsili verilen fonksiyonun nitel özelliklerini belirleyiniz. Bu fonksiyonun periyodu, maksimum değeri ve tekliği/çiftliği nedir?

[Grafik: y = 2cos(x) fonksiyonunun bir periyodu gösteriliyor]
📊 Grafik analizi yaparak aşağıdaki özelliklerden hangisi doğrudur?

Periyot: π, Maks: 2, Tek fonksiyon

Periyot: 2π, Maks: 2, Çift fonksiyon

Periyot: 2π, Maks: 1, Çift fonksiyon

Periyot: π, Maks: 2, Çift fonksiyon

Doğru! y = 2cos(x) fonksiyonu için matematiksel temsiller analiz edildiğinde: Periyot = 2π (cos fonksiyonunun temel periyodu), Maksimum değer = 2 (genlik), Çift fonksiyon (cos(-x) = cos(x) özelliği). Bu, kazanım MAT.11.1.1.a'da belirtilen "grafik temsili kullanarak nitel özellikleri belirleme" becerisini değerlendirir.

Soru 2: MAT.11.1.1.d
f(x) = sin(x) referans fonksiyonundan g(x) = 3sin(2x) fonksiyonu türetilmiştir. Bu dönüşümle ilgili aşağıdaki varsayımlardan hangisi doğrudur?

Periyot 2 katına çıkar, genlik değişmez

Periyot yarıya iner, genlik 3 katına çıkar

Periyot ve genlik aynı kalır

Periyot yarıya iner, genlik yarıya iner

Doğru! g(x) = 3sin(2x) = k·f(mx) formunda k=3, m=2'dir. Varsayımlarımız: Genlik k=3 katına çıkar, Periyot T=2π/m=2π/2=π olur (yarıya iner). Bu, kazanım MAT.11.1.1.d'de belirtilen "türetilen fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin varsayımlarda bulunma" becerisini değerlendirir.

🧩 Kazanım Testi - Problem Çözme

Soru 3: MAT.11.1.2.a,b
Bir sarkaç hareketi h(t) = 5 + 3sin(πt) denklemi ile modellenmiştir. Bu problemde trigonometrik fonksiyonların matematiksel bileşenleri ve aralarındaki ilişkiler nelerdir?

🔍 Problem analizi:
• h(t): Zamana göre yükseklik
• Sarkaç merkez konumu ve salınım genliği

Merkez: 3m, Genlik: 5m, Periyot: π s

Merkez: 5m, Genlik: 3m, Periyot: 2s

Merkez: 5m, Genlik: 3m, Periyot: π s

Merkez: 8m, Genlik: 2m, Periyot: 2s

Doğru! h(t) = 5 + 3sin(πt) formülünde matematiksel bileşenler: Merkez konum = 5m (dikey öteleme), Salınım genliği = 3m (genlik katsayısı), Periyot = 2π/π = 2s. Bu bileşenler arasındaki ilişki: maksimum yükseklik = merkez + genlik = 8m, minimum yükseklik = merkez - genlik = 2m. Kazanım MAT.11.1.2.a,b'de belirtilen matematiksel bileşenleri ve ilişkileri belirleme becerisini değerlendirir.

Soru 4: MAT.11.1.2.d,e
2sin(x) = √3 denklemini [0, 2π] aralığında çözmek için hangi strateji uygulanmalı ve çözüm nedir?

cos(x) = √3/2 → x = π/6, 11π/6

sin(x) = √3/2 → x = π/3, 2π/3

sin(x) = √3/2 → x = π/6, 5π/6

tan(x) = √3 → x = π/3, 4π/3

Doğru! Çözüm stratejisi: 2sin(x) = √3 → sin(x) = √3/2. Birim çemberden sin(x) = √3/2 olduğu açılar birinci ve ikinci çeyreklerde x = π/3 ve x = 2π/3'tür. Strateji: denklemi basitleştir → referans açıyı bul → tüm çözümleri belirle. Bu, kazanım MAT.11.1.2.d,e'de belirtilen strateji oluşturma ve uygulama becerisini değerlendirir.

🎉 Özet ve Sonuç

Kazanımlarımızı Değerlendirdik

🎯 MAT.11.1.1

✅ Nitel özellikleri matematiksel temsillerle belirledik

✅ Referans fonksiyonlardan türetme yaptık

✅ Varsayımlar oluşturup genellemeler yaptık

🔧 MAT.11.1.2

✅ Problem bileşenlerini belirledik

✅ Çözüm stratejileri geliştirdik

✅ Farklı yöntemlerle doğruladık

🌟 Beceriler

✅ Matematiksel muhakeme yapabilme

✅ Problem çözme stratejileri

✅ Gerçek yaşam bağlamında uygulama

📊 Kazanım Haritası

MAT.11.1.1: Trigonometrik referans fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin muhakeme ✓

MAT.11.1.2: Trigonometrik denklemleri içeren problemleri çözebilme ✓